Método de eliminación por igualación.

El método de igualación consiste en despejar una de las variables en ambas ecuaciones, para luego igualar sus resultados y resolver la ecuación encontrada. Cuando se resuelve una situación mediante este método su desarrollo es como sigue:
1. Nombrar variables.
2. Escribir ecuaciones y simplificarlas si es posible.
3. Nombrar ecuaciones.
4. Despejar una de las variables en ambas ecuaciones.
5. Igualar y resolver. Igualar los resultados encontrados para la variable que se ha despejado y resolver la ecuación encontrada.
6. Sustituir el valor de la variable encontrada en la ecuación del paso cuatro y resolver para determinar el valor de la otra variable.

Ejemplo 1. Resolver mediante el método de igualación el sistema $$\left\{\begin{array}1x+6y=4~~~~~~~~\textcolor {#ff0080}{\fbox{$1$}}\\ 2x+3y=0~~~~~~\textcolor {#ff0080}{\fbox{$2$}} \end{array}\right.$$ Despejando \(x\) en \(~~\textcolor {#ff0080}{\fbox{$1$}}\) se tiene \(x=4-6y\)
Despejando \(x\) en \({\fbox{$\textcolor {#ff0080}2$}}\) se tiene \(x=-3y/2\)
Igualando ambos resultados
\begin{align} 4-6y&=-\frac{3y}{2}\\ 2(4-6y)&=-3y\\ 8-12y&=-3y\\ -12y+3y&=-8\\ -9y&=-8 \Longrightarrow y=\frac{8}{9}\\ \end{align} Para determinar \(x\) se hace \(y=8/9\) en \(\textcolor {navy}{\fbox{$2$}}\)
\begin{align} 2x+3\left(\frac{8}{9}\right)&=0 2x+\frac{8}{3}&=0\\ 2x&=-\frac{8}{3} x&=-\frac{8}{2\left(3\right)}\ \ \Longrightarrow x-\frac{4}{3}\end{align}

Ejemplo 2. Precio de la gasolina. El precio de la gasolina es establecido por el Ministerio de Industria y Comercio semanalmente de acuerdo con la ley general de hidrocarburos (ley 112-00 del 29 de noviembre del 2000). Para cierta semana del año los precios de las gasolinas fueron \($210\) para el tipo regular y \($236\) para el premium. En una estación de gasolina en un día de esta semana se vendió un total de 9200 galones de gasolina, para un monto de $2~015~200. Determinar la cantidad de galones de cada tipo se vendieron en este día.
Solución: Sea \(r\) los galones vendidos de gasolina regular y sea \(p\) los galones vendidos de gasolina premium. De los datos se tiene,
$$\left\{\begin{array}1 r+p=9200\\210r+236p=2 015 200\end{array}\right.$$ Aplicando igualación se debe despejar una de las variables en ambas ecuaciones:
$$\mathrm{Despejando} ~r~ \mathrm{en}~~ \boxed{\textcolor{blue}{1}} \Longrightarrow r=9200-p$$ $$\mathrm{Despejando} ~r~ \mathrm{en} ~~ \boxed{\textcolor{blue}{2}} \Longrightarrow r=\frac{2015200-236p}{210}$$ Igualando los valores de \(r\) y resolviendo se tiene: \begin{align} 9 200-p&=\frac{2~ 015~ 200-236p}{210}\\ 210(9 200-p)&=2~ 015~ 200-236p\\ 210(9 200-p)&=2 015 200-236p ~~~~~~~~~~~\mathrm{ Ecuación~ encontrada.}\\ 1 932 000-210p&=2~015 200-236p ~~~~~~~~~~~\mathrm{ Multiplicando}\\ 236p-210p&=2~ 015~ 200-1 932 000 ~~~\mathrm{ Trasposición~de~términos.}\\ 26p&=83~200 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{Simplificando.}\\ p&=3~200 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{Dividiendo ~entre ~26.}\\ \end{align} Como \(r=9200-p\) se tiene que \(r=9200-3200=6000.\)
Por tanto, se vendieron \(6000\) galones de gasolina regular y \(3200\) de gasolina premium.

Ejemplo 2. Solución salina. La salmuera es agua con una concentración de sal \((NaCl)\) superior al 5% disuelta. Existen mares y lagos salados en donde no hay vida por el exceso de sal y de donde se extrae la salmuera, principalmente para obtener su sal evaporando el agua en salinas (lugar donde el hombre deja evaporar agua salada, para dejar solo la sal, poder secarla y recogerla para su venta). Por extensión, también se llama salmuera a disoluciones altamente concentradas de otras sales (por ejemplo, en desalinización). En refrigeración recibe el nombre de salmuera toda solución acuosa que se utiliza como medio de transferencia de calor cuando la temperatura es inferior a 0 ºC. Se utilizan tres tipos de salmueras. En cierta escuela para una clase de química en el laboratorio se tienen dos soluciones de salmuera, una contiene 5% de sal y la otra contiene 20% de sal. Determina cuántos mililitros de cada solución debe mezclarse para obtener un litro de solución que contenga 14% de sal.

Solución: sea \(x\) la cantidad a mezclarse en mililitros de solución al 5\% y sea \(y\) la cantidad en mililitros de solución al 20\%. De los datos se tiene, $$\left\{\begin{array}1 x+y=1000\left(\frac{5}{100}\right)\\x+\frac{20}{100} y=1000\left(\frac{14}{100}\right)\end{array}\Longrightarrow \left\{\begin{array}1x+y=50~~~~~ \boxed{\textcolor{blue}{1}}\\100x+20y=14000 ~~~\boxed{\textcolor{blue}{2}}\end{array}\right. \right.$$ Resolviendo por igualación, despejando \(x~en~\) en ambas ecuaciones e igualando se tiene:
$$\mathrm{Despejando}~ x~ \mathrm{en} ~~\boxed{\textcolor{blue}{1}}\Longrightarrow x=50-y$$ $$\mathrm{Despejando}~ x~ \mathrm{en} ~~\boxed{\textcolor{blue}{2}}\Longrightarrow x=\frac{14000-20y}{100}$$ Igualando y resolviendo: \begin{align} 1000-y=2800-4y &~~~~~~~~~~\mathrm{Ecuación~ encontrada.}\\ 4y-y=2800-1000 &~~~~~~~~~~\mathrm{Trasposición~de~términos.}\\ 3y=1800 &~~~~~~~~~~ \mathrm{Simplificando ~términos.}\\ y=600 &~~~~~~~~~~ \mathrm{Dividiendo~por~3.}\\ \end{align} Como \(x=1000-y\) se tiene que \(x=1000-600⟹x=400\) por tanto, se debe mezclar \(400mL\) al \(5\%\) y \(600mL\) al \(20\%\) para obtener un litro al \(14\%\).